A Bíblia não diz diretamente quem são os bisavôs de Jesus. Até mesmo os tradicionais avós, Ana e Joaquim, vem da tradição extra-bíblica e não são citados pela Bíblia. É verdade que Mateus e Lucas oferecem uma "genealogia" de Jesus, mas sabemos bem do valor teológico que elas tem, muito mais do que valor histórico (veja aqui). De qualquer forma, se quisermos, podemos ver o que dizem as duas genealogias, que têm muitas diferenças entre si.

No primeiro capítulo de Mateus, o evangelista conta a descendência de Abraão até José. Esse são so nomes que aparecem em Mt 1,15-15:

Eleazar gerou Matã, Matã gerou Jacó, Jacó gerou José, o esposo de Maria.

Se tomamos como informação história, por parte de José, o bisavô de Jesus é Matã.

Também encontramos uma genealogia em Lucas, onde aparecem exclusivamente homens, começando por José até Adão. Essa lista de nomes aparece depois do batismo, em Lucas 3,23-37. No versículo 23-24 lemos:

Ao iniciar o ministério, Jesus tinha mais ou menos 30 anos e era, conforme se supunha, filho de José, filho de Eli, filho de Matat, filho de Levi...

Nesse caso, o bisavô seria Matat.

Não conhecemos detalhes dessa pessoa. Poderiam ser os mesmos (no original grego: Matthan em Mateus e Maththat em Lucas), mas nem disso temos certeza, pois Maththat provavelmente é um nome breve usado para Mattathias.

De qualquer forma, mas do que isso não dá para dizer.

Do lado de Maria

Outra possibilidade seria tentar encontrar quem é o bisavô por parte de mãe. Como já acenei, a tradição diz que os pais de Maria e avôs maternos de Jesus são Joaquim e Ana, mas sobre eles existe completo silêncio na Bíblia. São mencionados somente a partir do segundo século, especialmente no Proto Evangelho de Tiago. Nesse texto está escrito que Ana, a vó de Jesus, era da tribo de Judá, filha de um sacerdote de Belém chamado Mathã, o mesmo nome que aparece na geneaologia de Mateus.

A tradição diz que Joaquim e Ana eram os pais de Jesus, mas não é uma informação que podemos encontrar na Bíblia. Aquilo que sabemos vem principalmente do apócrifo Proto-Evangelho de São Tiago. Nesse livro diz que ela era natural de Belém, da descendência de Davi.

Conta-se que, como muitos outros casos bíblicos, Joaquim e Ana não tinham filhos, pois eram estéreis. Por isso, uma vez que foi apresentar sua oferta no Templo, foi impedido. Então se retirou sobre uma montanha onde jejuou e pediu a Deus que lhes dessem um filho. Um anjo, então, lhes apareceu simultaneamente anunciando que suas preces tinham sido ouvidas e que teriam um filho.

Ana prometeu que dedicaria a criança ao serviço de Deus. Nasceu assim Maria. Quando ela tinha 3 anos, foi levada ao Templo e ali teria vivido até quando tinha 12 anos, quando se casou com José, o carpinteiro.

Nesse link existe uma versão desse apócrifo.