Neemias 10 é um capítulo que fala do compromisso que a comunidade dos judeus, depois da volta do exílio em Babilônia, assume para manter a própria fidelidade ao Senhor. O âmago da iniciativa é o diferenciar-se do "povo da terra", a gente que ficou na terra quando o povo foi levado para a Babilônia, que perdeu o contato com tradição religiosa. A estrada escolhida foi aquela de ser fiel aos princípios e principalmente às práticas recomendadas pela Torah. Há várias dessas práticas mencionadas nesse capítulo que você menciona e "a terça parte de um siclo por ano" é apenas uma delas. Mais adiante, no mesmo capítulo se diz também:

daremos o dízimo de nossa terra aos levitas (...) Um sacerdote acompanhará os levitas quando forem recolher o dízimo para o Templo de nosso Deus, para as salas do Tesouro (versículos 38-39).

Como se nota, alargando a nossa perpectiva dentro do mesmo capítulo, o dízimo não é abolido, mas é até mesmo intensificado, visto que os levitas irão eles mesmos nas cidades a recolher o que é devido.

Sobre o valor do "ciclo" (sheqel, em hebraico) existe muita discussão, pois parece que teve diferentes valores ao longo da história. Como uma medida de peso, o seu valor é de 11,4 gramas. Isto é justificado pelo fato que até um período o metal era simplesmente pesado. Ou seja, um siclo de ouro, como moeda, era 11,4 gramas de ouro. Se assumimos que era assim, poderia ser que o valor escolhido para pagar anualmente pelo trabalho dos sacerdotes era de mais ou menos 4 gramas de ouro ou prata, coisa que não é claro. Na época, o ouro valia 13,3 vezes mais do que a prata.

Sobre o dízimo, já tivemos oportunidade de sublinhar diversos aspectos em outros textos postados aqui no site.