Esse pseudo "livro" tem sua origem no texto hebraico de Josué 10,13, onde se fala de "Livro do Justo", em hebraico Sefer Ha-yashar. Desse último vocábulo deriva o que você chama de livro de Jashar. Em português seria simplesmente "livro do justo", como se lê no texto de Josué 10,13, quando fala da ação extraordinária de Josué que detém o sol:

Não está isso escrito no livro do justo?

Esse mesmo "livro" é citado em 2Samuel 1,18, quando Davi elogia Saul e Jônatas.

"Livro do Justo"

Como dissemos acima, em hebraico temos סֵפֶר הַיָּשָׁר (sèfer hayashàr). Embora normalmente encontramos nas nossas traduções "livro do justo", há quem diga que se trata de "livro do direito" (Diodati) e também, conforme a Tradução do Novo Mundo, das Testemunhas de Jeová: "livro de Iashar",  onde o vocáculo vem tomado como nome próprio.

Certamente a tradução dessa versão da Bíblia tenta dar uma solução para um problema real: em ambas as passagens estamos em um contexto de poesia e é lógica se perguntar o que tem a ver um "livro do justo" com a poesia? Mas acho que a solução proposta pela edição das Testemunhas de Jeová não tem fundamento. De fato, esse vocábulo é sempre tido como adjetivo na Bíblia e nunca como nome próprio, além de não ter ninguém conhecido com esse nome.

A única coisa certa é que provavelmente existia uma antiga coletânea poética que se perdeu e da qual não temos notícia. Essas duas passagens falam dessa coletânea e de nenhum livro que podemos ter acesso. Essa coletânea de poesias seria mais antiga do que os livros que a mencionam.

Que existiam poesias que se perderam sabemos também graças a outros textos, como Números 21,27, quando uma passagem é atribuída "aos poetas".

Uma hipótese que chama a atenção é a possibilidade de um erro, quando os copistas teriam feito uma troca de vogal (שיר se torna ישר - Shir se torna Iashar). Trocas como essa são típicas na transmissão do texto bíblico. Se fosse assim, aonde se vê "justo" deveríamos ler "cântico" (shir). É uma possibilidade, mas que não tem nenhuma evidência ou possibilidade de ser provada.

Apócrifo?

Muitos sites dizem propor o arquivo PDF desse livro. Trata-se de um grande equívoco. Existe um livro medieval, escrito provavelmente entre o século X e XV, que é parte da literatura hebraica: Sefer haYashar. Na verdade é um midrash, um texto que conta com as próprias palavras a história Bíblia da criação até o início da conquista da Terra Prometica, com Josué. Os termos que usa esse livro (França, Lombardia, etc) prova que se trata de um livro recente, que nada tem a ver com o tempo dos livros bíblicos, exceto o fato que reinterpreta aquilo que se encontra nos primeiros livros bíblicos.