Olá Marcia Azambuja de São Paulo!!
A pergunta não tem nada haver com este site bíblico. Mas em consideração a tua decisão te dirijo algumas palavras. Somente em um contexto amplo poderíamos considerar algo bíblico na pergunta. Pois fala de uma criatura de Deus embora seja um animal.
Sabemos o quanto é importante um animal de estimação para muitas pessoas. Não colocam dificuldade em atende-los por aquilo que recebem em troca é muito maior. Se isto ajuda estas pessoas e aproximem de Deus, respeitando a criação feita por Deus, está bem.
No teu caso pelos motivos alegados, penso que tua decisão seja a melhor para ti. Se não tens tempo para os cuidados deste cachorro, é melhor encaminhar para um lugar aonde ele vai se sentir bem! Está correto, estas tomando uma decisão sábia, a doação do cachorro.
Doar um cachorro, não é pecado. Mesmo por que não estas abandonando ele, mas buscando um lugar que ele viverá melhor.