Sabemos bem que Davi era filho de Jessé, como conta 1Samuel 16. Portanto a origem do segundo rei de Israel, que viveu aproximadamente há mil anos antes e Cristo, é muito certa.

E não há nenhuma menção à origem de Davi no versículo que você menciona, que diz assim:

Pois reconheço minhas trangressões e diante de mim está sempre meu pecado.

Salmo 51

É um dos salmos mais conhecidos da Bíblia, dito Miserere, nome tomado do título dado a ele pela Vulgata. É um salmo penitencial: um pecador que reconhece o próprio pecado e se coloca diante de Deus, apresentando sua culpa e pedindo perdão. 

O título do Salmo diz que é uma oração feita por Davi, depois que o profeta Natã vem a ele e o desmascara, acusando-o de ter matado o marido e ter ficado com Betsabeia (2Samuel 11 - 12).

Não sabemos se foi ou não composto pelo rei Davi. De qualquer forma esse rei encarna o comportamento da humanidade, de aproximação com Deus e afastamento, de graça e pecado. É uma oração muito especial e serve muito para cada um de nós, como ato de contrição, como manifestação da vontade de voltar a Deus, como expressão de conversão.

Algumas bíblica o tratam como salmo 50. Isso acontece por que 50 é a numeração dada a ele pela tradução grega da Bíblia.