Na verdade "eloi" não é um nome, mas uma palavra hebraica. Ficou famosa por que foi uma das exclamações de Cristo enquanto estava na cruz, como podemos ver em Marcos 15,35:

E, à hora nona, Jesus exclamou com grande voz, dizendo: Eloí, Eloí, lamá sabactâni? que, traduzido, é: Deus meu, Deus meu, por que me abandonaste?

Veja também em Mateus 27,46.

Como o próprio evangelista diz, "eloi" significa "Deus meu". Em aramaico se diz "Elahi". Em Marcos aparece "eloi" provavelmente por influência do hebraico "Elohim".

Em Mateus, invés de "eloi" encontramos "Eli", que é puro hebraico, a mesma expressão usada no Salmo 22,2:

Meu Deus, meu Deus, por que me abandonaste, descuidado de me salvar, apesar das palavras de meu agir?

Para uma interpretação correta da atitude de Jesus na cruz, vemos que o seu não é uma grito de desespero, mas uma oração: ele reza, da mesma forma que fazia o salmista!